作业I

题目：设${\{A_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$为一个单调递减的集合列，证明：$$A_1=(A_1-A_2)\cup(A_2-A_3)\cup\cdots\cup(A_n-A_{n+1})\cup\cdots\cup(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k)$$且上式中作并运算的括号内各项互不相交。

证明：

由于${\{A_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$单调递减，所以对于任意正整数$i$与$j$，有$A_{i+j}\subset A_i$，故而$(A_i-A_{i+j})\cap A_{i+j}=\emptyset$。又$(A_{i+j}-A_{i+j+1})\subset A_{i+j}$（仍来自于其单调递减），故$(A_i-A_{i+1})\cap (A_{i+j}-A_{i+j+1})=\emptyset$，也就是说，除了最后一个括号，前面的所有括号都互不相交。

又任取$x\in\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$，则$x\in A_i$且$x\in A_{i+1}$，于是$x\notin (A_i-A_{i+1})$，也就是说，没有这样的$x$使得其同时属于$\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$和$A_i-A_{i+1}$，所以最后一个括号和前面的所有括号不相交。故而所有的括号相互不相交。

若存在某个正整数$n$使得$x\notin A_{n+1}$，则由集合列的单调递减性，存在最小的$k$满足$x\notin A_{k+1}$。此时必有$x\in A_k$（否则若$x\notin A_k$，则因$A_k\supset A_{k+1}$，会推出$x\notin A_{k+1}$更早发生，矛盾）。于是$x\in A_k-A_{k+1}\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}(A_k-A_{k+1})$。若对所有正整数$n$都有$x\in A_n$，则$x\in \bigcap_{k=1}^{\infty}A_k$。因此$x\in\bigcup_{k=1}^{\infty} (A_k-A_{k+1})\cup\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$，即$A_1\subset \bigcup_{k=1}^{\infty} (A_k-A_{k+1})\cup\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$。

取$x\in\bigcup_{k=1}^{\infty} (A_k-A_{k+1})\cup\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$，若$x\in \bigcup_{k=1}^{\infty}(A_k-A_{k+1})$，则存在某个$k$使$x\in A_k-A_{k+1}\subset A_k\subset A_1$（因$k\ge1$）。若$x\in \bigcap_{k=1}^{\infty}A_k$，则显然$x\in A_1$。所以$\bigcup_{k=1}^{\infty} (A_k-A_{k+1})\cup\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\subset A_1$。

这就得到了：$$A_1=(A_1-A_2)\cup(A_2-A_3)\cup\cdots\cup(A_n-A_{n+1})\cup\cdots\cup(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k)$$